ドライブにあるPDFのファイルを開き、右上の印刷アイコンをクリックすると、ローカルへダウンロードをする画面に進んでいきます。ダウンロードせず、そのまま印刷できるようにしたいのですが、パソコン側の設定でしょうか？

原因につきまして、 Google Chrome 上で [PDFをダウンロードする] という設定になっていることが考えられます。

設定の変更方法は以下の通りです。
① Chrome を開きます。
②右上のその他アイコン > [設定] をクリックします。
③ [プライバシーとセキュリティ] > [サイトの設定] をクリックします。
④ [その他のコンテンツの設定] > [PDF ドキュメント] をクリックします。
⑤デフォルト設定として使用するオプションを選択します。
　→ここが [PDFをダウンロードする] に設定されている可能性がございます。
　　 [ChromeでPDFを開く] に変更するとダウンロードせず印刷することが可能になります。

詳しくは、下記ヘルプページの [PDF ダウンロードに関するデフォルトの権限を変更する] をご参照ください。
https://support.google.com/chrome/answer/95759?hl=ja